Schemat Hornera to algorytm, służący do szybkiego dzielenia wielomianów. Został on opisany w 1819 roku przez Williama G. Hornera.
Metoda Hornera pozwala na:
- dzielenie wielomianów przez dwumian (x-a)
- sprawdzenie czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu
- obliczenie wartości wielomianu dla pewnego argumentu
Nie można skorzystać ze schematu Hornera, jeśli wielomian przez który dzielimy jest w wyższej potędze, np. x²-2, x³+1. W takiej sytuacji należy skorzystać z tradycyjnej metody dzielenia wielomianów.
Schemat Hornera wykorzystujemy tworząc tabelkę, którą następnie będziemy uzupełniać.
Metoda Hornera- tworzenie tabeli
Aby dobrze zrozumieć, o co chodzi w stosowaniu schematu Hornera, podzielimy wielomian przez dwumian:
( 2x³ – 5x² + 4x – 1) : ( x-1)
Krok 1: budujemy tabelę według pokazanego niżej schematu
Pierwszy wiersz tabeli: wpisujemy wszystkie kolejne współczynniki uporządkowanego wielomianu
Drugi wiersz tabeli: tu będziemy wpisywać wyniki obliczeń
Trzeci wiersz: w lewym, dolnym rogu wpisujemy liczbę, która zeruje dwumian, w przypadku omawianego przykładu jest to liczba 1
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | ||||
| 1 |
Krok 2: przepisujemy pierwszy współczynnik bez zmian do dolnego wiersza tabeli
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | ||||
| 1 x | 2 |
Krok 3: wykonujemy kolejne obliczenia
Otrzymaną w ten sposób liczbę 2, mnożymy przez liczbę 1, która jest liczbą zerującą dwumian. Następnie odejmujemy liczbę 5, czyli współczynnik z tej kolumny tabeli. Wynikiem jest liczba -3, którą przepisujemy do dolnego wiersza tabeli.
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | 1 x 2 – 5 = -3 | |||
| 1 x | 2 | -3 |
Krok 4: wykonujemy obliczenia dla kolejnej kolumny tabeli, tak samo jak w kroku 3
Tym razem otrzymaną liczbę -3 mnożymy przez 1, czyli miejsce zerowe dwumianu. Następnie dodajemy liczbę 4, a wynik wpisujemy w dolnym wierszu tabeli.
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | 1 x 2 – 5 = -3 | 1 x (-3) + 4 = 1 | ||
| 1 x | 2 | -3 | 1 |
Krok 5: wykonujemy obliczenia dla ostatniej kolumny tabeli
Otrzymaną w poprzednim kroku liczbę 1 mnożymy przez liczbę 1, która jest miejscem zerom dwumianu. Następnie odejmujemy liczbę 1, z górnego wiersza tabeli.
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | 1 x 2 – 5 = -3 | 1 x (-3) + 4 = 1 | 1 x 1 – 1 = 0 | |
| 1 x | 2 | -3 | 1 | 0 |
Krok 6: wynik końcowy
Końcowy wynik dzielenia wygląda następująco:
( 2x³ – 5x² + 4x – 1) : ( x-1) = 2x² -3x +1 reszta= 0
Liczby 2, -3, 1 to kolejne wyniki z naszej tabeli. Liczba 0 oznacza, że w dzieleniu nie było reszty.
Ważne!
Wpisując kolejne współczynniki do tabeli, należy pamiętać o wpisaniu liczby 0, jeśli nie ma kolejnej potęgi wielomianu. Ta potęga istnieje, ale z liczbą 0 i w schemacie Hornera ważne jest, aby była ona uwzględniona w tabeli.
Przykład:
W(x) = 8x4 – 3x² + 2
W(x) = 8x4 + 0x³ – 3x² + 0x + 2
W tym przykładzie, w pierwszym wierszu tabeli powinny znaleźć się liczby: 8, 0, -3, 0 oraz 2
Czym jest notacja wykładnicza?
Notacja wykładnicza, inaczej nazywana postacią wykładniczą, to sposób przedstawienia liczby rzeczywistej, który jest szczególnie przydatny przy zapisywaniu bardzo dużych lub bardzo małych liczb. Stosuje się ją w matematyce, aby zapisać w inny sposób liczby, których zapis w postaci dziesiętnej wymagałby użycia bardzo dużej ilości liczb.
Jak zapisuje się liczby w notacji wykładniczej?
Notacja wykładnicza pomaga przy zapisie bardzo małych (bliskich zeru) i bardzo dużych liczb, których odczytanie mogłoby sprawiać kłopot, a ich zapis byłby bardzo długi.
Na przykład liczba 4 000 000 000 000
Można zapisać ją inaczej, jako: 4 x 1012
Z kolei liczbę 0, 000 000 000 000 000 000 006, która ma aż 27 miejsc po przecinku, można zapisać krócej jako 6 x 10-27
Jakie są elementy zapisu liczby w postaci wykładniczej?
Postać notacji wykładniczej wygląda następująco: a · 10x
gdzie:
a- to liczba, tzw. mantysa, z przedziału od 1 do 10
x- jest całkowitym wykładnikiem
Kiedy chcemy zapisać liczbę w postaci wykładniczej, przesuwamy przecinek w liczbie w taki sposób, aby najpierw otrzymać liczbę (mantysę) z przedziału od 1 do 10, a następnie 10 do właściwej dla danej liczby potęgi. Jeśli przesuwamy przecinek w prawo wykładnik będzie ujemny, a kiedy przesuwamy przecinek w lewo wykładnik będzie liczbą dodatnią.
Po co stosuje się postać wykładniczą?
Postać wykładniczą w matematyce stosuje się w celu uniknięcia pisania zbyt wielu zer.
Przykład zapisu notacji wykładniczej z dużą liczbą
Spróbujemy zapisać w notacji wykładniczej liczbę 5400
Krok 1:
Wyobraź sobie, że za ostatnią liczbą stoi przecinek (dopiszemy go, aby lepiej przedstawić ten przykład): 5400,
Krok 2:
Teraz przesuwamy przecinek w lewą stronę, aż otrzymamy liczbę z przedziału od 1 do 10: 5,400
Krok 3:
Przecinek musiał znaleźć się między liczbami 5 i 4, ponieważ tylko w ten sposób powstała liczba z przedziału od 1 do 10, czyli w naszym przykładzie: 5,4
Krok 4:
Teraz zapisujemy drugi czynnik iloczynu, czyli liczbę 10 z odpowiednią potęgą. Będzie to liczba odpowiadająca ilości przesunięć przecinka, czyli w podanym przykładzie: 3
Krok 5:
Zapisujemy liczbę w notacji wykładniczej. Wygląda ona następująco:
5,4 x 10³
Początkowo zapisywanie liczb w notacji wykładniczej może wydawać się trudne, jednak z każdym kolejnym przykładem będzie szło coraz lepiej.
Przykład zapisu notacji wykładniczej z bardzo małą liczbą
Aby jeszcze lepiej utrwalić sobie temat zapisu liczb w notacji wykładniczej, spróbujemy zapisać liczbę, która ma dużo zer po przecinku.
Krok 1:
Spróbujemy zapisać w notacji wykładniczej liczbę: 0,000 000 45
Krok 2:
Tym razem przesuwamy przecinek w prawą stronę, aż otrzymamy liczbę z przedziału od 1 do 10: 0 000 000 4,5
Krok 3:
Przecinek musiał znaleźć się między liczbami 4 i 5, ponieważ tylko w ten sposób powstała liczba z przedziału od 1 do 10, czyli w naszym przykładzie: 4,5
Krok 4:
Teraz zapisujemy drugi czynnik iloczynu, czyli liczbę 10 z odpowiednią potęgą. Będzie to liczba odpowiadająca ilości przesunięć przecinka, czyli w podanym przykładzie: 7
Krok 5:
Zapisujemy liczbę w notacji wykładniczej. Wygląda ona następująco:
4,5 x 10-7
W tym przykładzie przesuwaliśmy przecinek w prawą stronę, dlatego wykładnik będzie liczbą ujemną.
Schemat Hornera
Schemat Hornera to algorytm, służący do szybkiego dzielenia wielomianów. Został on opisany w 1819 roku przez Williama G. Hornera.
Metoda Hornera pozwala na:
- dzielenie wielomianów przez dwumian (x-a)
- sprawdzenie czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu
- obliczenie wartości wielomianu dla pewnego argumentu
Nie można skorzystać ze schematu Hornera, jeśli wielomian przez który dzielimy jest w wyższej potędze, np. x²-2, x³+1. W takiej sytuacji należy skorzystać z tradycyjnej metody dzielenia wielomianów.
Schemat Hornera wykorzystujemy tworząc tabelkę, którą następnie będziemy uzupełniać.
Metoda Hornera- tworzenie tabeli
Aby dobrze zrozumieć, o co chodzi w stosowaniu schematu Hornera, podzielimy wielomian przez dwumian:
( 2x³ – 5x² + 4x – 1) : ( x-1)
Krok 1: budujemy tabelę według pokazanego niżej schematu
Pierwszy wiersz tabeli: wpisujemy wszystkie kolejne współczynniki uporządkowanego wielomianu
Drugi wiersz tabeli: tu będziemy wpisywać wyniki obliczeń
Trzeci wiersz: w lewym, dolnym rogu wpisujemy liczbę, która zeruje dwumian, w przypadku omawianego przykładu jest to liczba 1
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | ||||
| 1 |
Krok 2: przepisujemy pierwszy współczynnik bez zmian do dolnego wiersza tabeli
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | ||||
| 1 x | 2 |
Krok 3: wykonujemy kolejne obliczenia
Otrzymaną w ten sposób liczbę 2, mnożymy przez liczbę 1, która jest liczbą zerującą dwumian. Następnie odejmujemy liczbę 5, czyli współczynnik z tej kolumny tabeli. Wynikiem jest liczba -3, którą przepisujemy do dolnego wiersza tabeli.
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | 1 x 2 – 5 = -3 | |||
| 1 x | 2 | -3 |
Krok 4: wykonujemy obliczenia dla kolejnej kolumny tabeli, tak samo jak w kroku 3
Tym razem otrzymaną liczbę -3 mnożymy przez 1, czyli miejsce zerowe dwumianu. Następnie dodajemy liczbę 4, a wynik wpisujemy w dolnym wierszu tabeli.
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | 1 x 2 – 5 = -3 | 1 x (-3) + 4 = 1 | ||
| 1 x | 2 | -3 | 1 |
Krok 5: wykonujemy obliczenia dla ostatniej kolumny tabeli
Otrzymaną w poprzednim kroku liczbę 1 mnożymy przez liczbę 1, która jest miejscem zerom dwumianu. Następnie odejmujemy liczbę 1, z górnego wiersza tabeli.
| 2 | -5 | 4 | -1 | |
| działania: | 1 x 2 – 5 = -3 | 1 x (-3) + 4 = 1 | 1 x 1 – 1 = 0 | |
| 1 x | 2 | -3 | 1 | 0 |
Krok 6: wynik końcowy
Końcowy wynik dzielenia wygląda następująco:
( 2x³ – 5x² + 4x – 1) : ( x-1) = 2x² -3x +1 reszta= 0
Liczby 2, -3, 1 to kolejne wyniki z naszej tabeli. Liczba 0 oznacza, że w dzieleniu nie było reszty.
Ważne!
Wpisując kolejne współczynniki do tabeli, należy pamiętać o wpisaniu liczby 0, jeśli nie ma kolejnej potęgi wielomianu. Ta potęga istnieje, ale z liczbą 0 i w schemacie Hornera ważne jest, aby była ona uwzględniona w tabeli.
Przykład:
W(x) = 8x4 – 3x² + 2
W(x) = 8x4 + 0x³ – 3x² + 0x + 2
W tym przykładzie, w pierwszym wierszu tabeli powinny znaleźć się liczby: 8, 0, -3, 0 oraz 2
Czym jest notacja wykładnicza?
Notacja wykładnicza, inaczej nazywana postacią wykładniczą, to sposób przedstawienia liczby rzeczywistej, który jest szczególnie przydatny przy zapisywaniu bardzo dużych lub bardzo małych liczb. Stosuje się ją w matematyce, aby zapisać w inny sposób liczby, których zapis w postaci dziesiętnej wymagałby użycia bardzo dużej ilości liczb.
Jak zapisuje się liczby w notacji wykładniczej?
Notacja wykładnicza pomaga przy zapisie bardzo małych (bliskich zeru) i bardzo dużych liczb, których odczytanie mogłoby sprawiać kłopot, a ich zapis byłby bardzo długi.
Na przykład liczba 4 000 000 000 000
Można zapisać ją inaczej, jako: 4 x 1012
Z kolei liczbę 0, 000 000 000 000 000 000 006, która ma aż 27 miejsc po przecinku, można zapisać krócej jako 6 x 10-27
Jakie są elementy zapisu liczby w postaci wykładniczej?
Postać notacji wykładniczej wygląda następująco: a · 10x
gdzie:
a- to liczba, tzw. mantysa, z przedziału od 1 do 10
x- jest całkowitym wykładnikiem
Kiedy chcemy zapisać liczbę w postaci wykładniczej, przesuwamy przecinek w liczbie w taki sposób, aby najpierw otrzymać liczbę (mantysę) z przedziału od 1 do 10, a następnie 10 do właściwej dla danej liczby potęgi. Jeśli przesuwamy przecinek w prawo wykładnik będzie ujemny, a kiedy przesuwamy przecinek w lewo wykładnik będzie liczbą dodatnią.
Po co stosuje się postać wykładniczą?
Postać wykładniczą w matematyce stosuje się w celu uniknięcia pisania zbyt wielu zer.
Przykład zapisu notacji wykładniczej z dużą liczbą
Spróbujemy zapisać w notacji wykładniczej liczbę 5400
Krok 1:
Wyobraź sobie, że za ostatnią liczbą stoi przecinek (dopiszemy go, aby lepiej przedstawić ten przykład): 5400,
Krok 2:
Teraz przesuwamy przecinek w lewą stronę, aż otrzymamy liczbę z przedziału od 1 do 10: 5,400
Krok 3:
Przecinek musiał znaleźć się między liczbami 5 i 4, ponieważ tylko w ten sposób powstała liczba z przedziału od 1 do 10, czyli w naszym przykładzie: 5,4
Krok 4:
Teraz zapisujemy drugi czynnik iloczynu, czyli liczbę 10 z odpowiednią potęgą. Będzie to liczba odpowiadająca ilości przesunięć przecinka, czyli w podanym przykładzie: 3
Krok 5:
Zapisujemy liczbę w notacji wykładniczej. Wygląda ona następująco:
5,4 x 10³
Początkowo zapisywanie liczb w notacji wykładniczej może wydawać się trudne, jednak z każdym kolejnym przykładem będzie szło coraz lepiej.
Przykład zapisu notacji wykładniczej z bardzo małą liczbą
Aby jeszcze lepiej utrwalić sobie temat zapisu liczb w notacji wykładniczej, spróbujemy zapisać liczbę, która ma dużo zer po przecinku.
Krok 1:
Spróbujemy zapisać w notacji wykładniczej liczbę: 0,000 000 45
Krok 2:
Tym razem przesuwamy przecinek w prawą stronę, aż otrzymamy liczbę z przedziału od 1 do 10: 0 000 000 4,5
Krok 3:
Przecinek musiał znaleźć się między liczbami 4 i 5, ponieważ tylko w ten sposób powstała liczba z przedziału od 1 do 10, czyli w naszym przykładzie: 4,5
Krok 4:
Teraz zapisujemy drugi czynnik iloczynu, czyli liczbę 10 z odpowiednią potęgą. Będzie to liczba odpowiadająca ilości przesunięć przecinka, czyli w podanym przykładzie: 7
Krok 5:
Zapisujemy liczbę w notacji wykładniczej. Wygląda ona następująco:
4,5 x 10-7
W tym przykładzie przesuwaliśmy przecinek w prawą stronę, dlatego wykładnik będzie liczbą ujemną.