Notacja wykładnicza w matematyce

Czym jest notacja wykładnicza? – definicja oraz zastosowanie

Notacja wykładnicza, nazywana także notacją naukową, czy postacią wykładniczą, to sposób przedstawiania liczb za pomocą iloczynu liczby „a” (nazywanej w notacji wykładniczej mantysą) i liczby 10 do potęgi n-tej (czyli wykładni), gdzie „a” należy do przedziału prawostronnie otwartego [1,10), czyli musi być większe lub równe 1 i mniejsze od 10, a „n” należy do zbioru liczb całkowitych (czyli liczb naturalnych i do nich przeciwnych). Dzięki swojej formie zapisu notacja wykładnicza służy do przedstawiania bardzo dużych bądź bardzo małych liczb (bliskich zeru), aby uniknąć zapisywania zbyt wielu cyfr. Swoje zastosowanie notacja wykładnicza ma przede wszystkim w matematyce, ale chętnie stosowana jest również w innych dziedzinach, takich jak chemia, czy fizyka – stąd pochodzi jej druga nazwa, czyli notacja naukowa. Dzięki notacji naukowej możemy łatwiej przedstawić wartości masy atomu, prędkość światła, czy odległości w kosmosie. Według teorii matematycznej, wygląd zapisu notacji naukowej i postaci wykładniczej różni się nieznacznie, natomiast w obu przypadkach mamy do czynienia z uproszczonym zapisem, który ma na celu przedstawienie liczby w postaci dziesiętnej. 

Przykłady

Aby lepiej zrozumieć notację wykładniczą przejrzyjmy parę przykładów. 

0,1 = 1 * 10^-1

1 = 1 * 10⁰

10 = 1 * 10¹

123000000000 = 1,23 * 10¹¹

0,00000000123 = 1,23 * 10^-9

Przeanalizujmy ostatnie dwa przykłady. Mamy do czynienia z liczbą 123000000000, aby ułatwić odczytanie tej liczby, możemy przedstawić ją za pomocą notacji wykładniczej. Aby to zrobić musimy policzyć o ile miejsc należy przesunąć przecinek, aby spełnić warunki notacji wykładniczej. Przypominamy, że mantysa musi należeć do przedziału prawostronnie otwartego [1,10). 

Dla ułatwienia 123000000000 możemy zapisać jako 123000000000,0. Naszą mantysą w tym wypadku będzie 1,23, ponieważ jako jedyna liczba spełnia podane wcześniej warunki (12,3 oraz 123 są większe niż 10). Aby otrzymać 1,23, musimy przesunąć przecinek o 11 miejsc w lewo, dlatego jako nasz wykładnik (potęgę) podajemy liczbę 11. 

W drugim przypadku robimy analogiczną analizę. Mając 0,00000000123 szukamy mantysy, która spełnia warunki notacji wykładniczej, ponownie będzie to 1,23 (ponieważ zarówno 12,3 jak i 123 są większe od 10, a co za tym idzie, nie mieszczą się w podanym przedziale). Tym razem aby osiągnąć 1,23 przesuwamy przecinek o 9 miejsc, ale jako, że przesuwamy się w prawą stronę, to dodatkowo musimy dopisać znak minus, gdyż nasza wykładnia będzie ujemna. Aby to zapamiętać, możemy przyjąć, że zawsze gdy mamy do czynienia z liczbami mniejszymi niż 1, to ich wykładnia w notacji wykładniczej będzie ujemna.

Zamianę notacji wykładniczej na zwykły zapis robimy w bardzo podobny sposób. Najpierw sprawdzamy w którą stronę będziemy przesuwać przecinek, jeżeli potęga jest dodatnia, przesuwamy w prawą stronę (odwracamy proces, dlatego tym razem mimo dodatniej potęgi mówimy o stronie prawej), jeżeli potęga jest ujemna, przesuwamy w lewą stronę. Następnie przesuwamy przecinek o tyle miejsc, aby pozbyć się przecinka z naszej mantysy i dopisujemy pozostałe zera, aby suma miejsc zgadzała się z wykładnikiem. 

7,891 * 10⁸ = 789100000

7,891 * 10^–8 = 0,00000007891

Dla porównania i w ramach ciekawostki notacja naukowa poniższych liczb wynosiłaby kolejno:

123000000000 = 1,23E11

0,00000000123 = 1,23E-9

Jak możemy zauważyć, „E” zastępuje część zapisu notacji wykładniczej i pomijamy w nim „* 10”, zaś potęga przedstawiona zostaje jako liczba. Z podobny zapisem można spotkać się w niektórych kalkulatorach, dlatego warto znać również ten sposób zapisu.

Jednostki miar

Mówiąc o notacji wykładniczej musimy przypomnieć sobie układ jednostek SI, czyli Międzynarodowy Układ Jednostek Miar, który jest wspólny i standardowy dla większości świata prócz paru krajów, w tym Stanów Zjednoczonych Ameryki, gdzie stosuje się układ imperialny miar nazywany także anglo-amerykańskim. Skupmy się jednak na systemie miar obowiązującym w Polsce. Ujednolicone jednostki miar pomagają nam porównywać ze sobą różne wielkości. Poniżej przedstawiamy tabele z podstawowymi jednostkami układu SI, stanowią one bazę dla jednostek pochodnych, takich jak na przykład ładunek elektryczny (iloczyn prądu elektrycznego i czasu).

Wielkość	Jednostka	Symbol
długość	metr	m
masa	kilogram	kg
czas	sekunda	s
temperatura	kelwin	K
prąd elektryczny	amper	A
liczność materii	mol	mol
światłość	kandela	cd

W oficjalnym dokumencie stworzonym przez Międzynarodowe Biuro Miar i Wag można znaleźć pełną listę jednostek podstawowych oraz pochodnych wzbogacone o etymologię, historię oraz garść ciekawostek na temat każdej z nich. 

Przedrostki

Jednym ze sposobów przedstawienia notacji wykładniczej jest użycie przedrostków układu SI. Każdy przedstawiony poniżej prefiks może zastąpić słownie potęgę liczby 10. Wbrew pozorom, jest to częsty sposób na przedstawianie danych w nauce, a nawet w życiu codziennim.

Rząd wielkości	Nazwa	Symbol
10-24	jokto	y
10-21	zepto	z
10-18	atto	a
10-15	femto	f
10-12	piko	p
10-9	nano	n
10-6	mikro	μ
10-3	mili	m
10-2	centy	c
10-1	decy	de
101	deka	da
102	hekto	h
103	kilo	k
106	mega	M
109	giga	G
1012	tera	T
1015	peta	P
1018	eksa	E
1021	zetta	Z
1024	jotta	J

Dzięki przedrostkom możemy w znacznie prostszy i szybszy sposób przedstawić jakąkolwiek liczbę. 

Na przykład dla 0,00000000123 s, zamiast dyktować „zero, przecinek, zero, zero, zero, zero, zero, zero, zero, zero, jeden, dwa, trzy sekundy” albo zamiast 1,23 * 10^-9 s „jeden przecinek dwadzieścia trzy razy dziesięć do minus dziewiątej sekundy” możemy powiedzieć: „jeden przecinek dwadzieścia trzy nanosekundy”. 

Ciekawostką jest fakt, że przedrostki można łączyć ze wszystkimi jednostkami układu SI, oprócz kilograma, który już sam w sobie zawiera przedrostek „kilo”, który zgodnie z tabelą oznacza 10³ i w teorii nie powinien być traktowany więc jako jednostka podstawowa. Jest to jednak wyjątek ustanowiony ze względów historycznych i wszelkie przedrostki dodawane do jednostek masy powinny odnosić się do grama – to jest na przykład „nanogram”, czy też „miligram”.